Lp空间和可积的关系

Lp空间是p次可积函数的集合,定义如下:

$$ {\mathcal{L}}^{p}(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{p}=\left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \right\} $$

为什么是一个定积分的值小于无穷呢?因为积分值无穷大是不可积的,这个在《金融随机分析2》 p13可以看到类似的东西

所以积分的值为有限值即为可积,这样也必然是收敛的,不收敛的值必然会到无穷大

所以p次可积函数的集合这个概念是不是就好理解一些了

那么函数与集合之间又有什么关系呢?

这是个好问题,下面就是一个函数集合

$$ {\displaystyle a=({\frac {1}{n}})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{n}},\cdots \right)} $$

下面是范数的公式,p就是Lp中的p,不同的Lp空间范数公式是不同的,关键点就在于p

$$ {\displaystyle \|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.} $$

所以在\({\displaystyle \ell ^{1}}\)里面a数列的范数是\({\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots }\)

在\({\displaystyle \ell ^{2}}\)里面a数列的范数是\({\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots }\)

  • \({\displaystyle \ell ^{1}}\)空间,所有绝对收敛级数列构成的空间;
  • \({\displaystyle \ell ^{2}}\)空间,所有平方收敛级数列构成的空间;
  • \({\displaystyle \ell ^{\infty }}\)空间,所有有界数列构成的空间。

看到一个关键词没有,级数,看看下面的一些实例,是不是级数(数列)可以和函数相关联,是不是所有的函数都能通过幂级数来表达,这样数列函数间的关系貌似就很微妙了。不过这种关系是我自己猜测的。

$$ e^x = 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...+\frac{1}{n!}x^n ,x\in(-\infty,+\infty)\\ ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^2+...+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}+..., x\in(-1,1] \\ sinx = x - \frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5 +...+ (-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+...,x\in(-\infty,+\infty)\\ cosx = 1 - \frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4 +...+ (-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+...,x\in(-\infty,+\infty)\\ $$

picard 逐次逼近法

参考: wikipediaBaidu picard 逐次逼近法

之前在看动态优化时看到一些证明解的存在及唯一性的证法看得我特别头晕,在两本书中发现了共同点

《常微分方程》-> p62
《动态规划方法与HJB方程》-> p15

在《常微分方程》书中找到了答案,其实是一个套路(一套已经既定的理论),这套证明ODE解的存在唯一性的方法就是picard 逐次逼近法

详细过程建议可以看wikipedia,Baidu那个参考只有流程。流程如下:

$$ \left\{ \begin{array} { l } { \frac { d y } { d x } = f ( x , y ) } \\ { y \left( x _ { 0 } \right) = y _ { 0 } } \end{array} \right. $$

初值问题转化为等价的积分方程

$$ y = y _ { 0 } + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f ( x , y ) d x $$

构造迭代函数序列

$$ \left\{ \begin{array} { c } { \varphi _ { 1 } ( x ) = y _ { 0 } + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } f \left( x , y _ { 0 } \right) d x } \\ { \varphi _ { n } ( x ) = y _ { 0 } + \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } f \left( x , \varphi _ { n - 1 } ( x ) d x ( n = 1,2 , \ldots ) \right. } \end{array} \right. $$

然后就归纳法,用级数之类的方法进行认证,有点复杂,暂时不深入了,可参考 wikipedia 的页面。

连续

C一般就代表普通连续函数,\(C^0=C\)

\(C^1\) 一阶可微函数,导数连续(可微必连续)

\(C^n\) n阶可微函数,n为无穷大,则为光滑函数

\(W ^ { 1, \infty } \left( [ a , b ] ; R ^ { n } \right)\) Lipschitz 连续

\(W ^ { 1, 1 } \left( [ a , b ] ; R ^ { n } \right)\) 绝对连续

他们的关系为:

$$ C ^ { 1 } ( [ a , b ] ; R ^ { n } ) \subset W ^ { 1, \infty } ( [ a , b ] ; R ^ { n } ) \subset W ^ { 1, 1 } ( [ a , b ] ; R ^ { n } ) \subset 一致连续 \subset C ( [ a , b ] ; R ^ { n } ) $$